থিওরী অফ রিলেটিভিটি: চতুর্থ মাত্রা

রিলেটিভিটির কথা শুনলেই আমাদের মাথায় আসে চতুর্থ মাত্রার কথা। কি এই চতুর্থ মাত্রা? কেউ বলে চতুর্থ মাত্রা হচ্ছে সময়। আবার কেউ বলে আলোর বেগ। আমরা নিজেরাই চিন্তা করে দেখি চতুর্থ মাত্রা আসলে কি হতে পারে। আমাদের স্বাধারন জীবনে আমরা তিনটি মাত্রার সাথে খুব ভালোভাবে পরিচিত। এগুলোকে আমরা x, y, z দিয়ে প্রকাশ করি। এই মাত্রাগুলো সকলেই একে অপরের সাথে লম্ব। তারমানে চতুর্থ যে মাত্রা আসবে তাকেও অন্যসকল মাত্রাগুলোর সাথে লম্ব হতে হবে। আর সেই সাথে তা দ্বারা দূরত্ব প্রকাশ করতে হবে। আমরা গণিতে কাল্পনিক সংখ্যা i এর সাথে পরিচিত। যা সংখ্যারেখার সাথে লম্বভাবে থাকে। তারমানে চতুর্থ যেই মাত্রাটা আমরা পাবো, তার দিক হবে i এর দিকে। এই দিকটাকে আমরা কাল্পনিক দিক নাম দিলাম, যেহেতু এই দিক আমরা দেখতে পাইনা।
এখন দেখি চতুর্থ মাত্রাকে আমরা কি দিয়ে প্রকাশ করতে পারি। আগে থেকেই আমরা জেনেছি যে, চতুর্থ মাত্রা সময় ও আলোর বেগের উপর নির্ভরশীল। কিন্তু এরা কেউই দূরত্বের একক না। কিন্তু এদের গুণফল কিন্তু দূরত্বের একক হতে পারে। তার মানে চতুর্থ মাত্রা হচ্ছে cti যেখানে c হচ্ছে আলোর বেগ, t সময় ও i কাল্পনিক সংখ্যা এবং একটি একক ভেক্টর।
এখানে পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
ds^2= -c^2dt^2 + dr^2
এটা হচ্ছে চতুর্থ মাত্রায় দূরত্বের সমীকরন। যেখানে r হচ্ছে দূরত্ব। আমরা যদি ঘুরিয়ে চতুর্থ মাত্রাকে বাস্তব ও অন্য সকল মাত্রাকে কাল্পনিক বলে ধরি,
ds^2= c^2dt^2-dr^2
বা, ds^2= c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2
সূত্রটাকে এভাবে ঘুরিয়ে লিখার কারন হচ্ছে, অধিকাংশ রিলেটিভিটির বইতে এই সূত্র ব্যাবহার করা হয়।
আপেক্ষিকতার জন্য আইন্সটাইন দুটি স্বিকার্য দিয়েছিল।
১. সকল রেফারেন্স ফ্রেমের জন্য পদার্থবিজ্ঞানের সূত্রগুলো একই হবে।
২. সকল রেফারন্স ফ্রেমের সাপেক্ষে আলোর গতি ধ্রুব।
এখানে দ্বিতীয় স্বিকার্যটি আমাদের জন্য অনেক গুরুত্বপূর্ণ। এর মানে আপনি যেই বেগেই গতিশীল থাকুন না কেন, আপনার সাপেক্ষে আলোর বেগের কোন পরিবর্তন হবে না। এর কারন হিসেবে আইন্সটাইন গতিশীল বস্তুর জন্য সময়ের প্রসারণকে দায়ী করেছিলেন। বিষয়টা আরও পরিষ্কারভাবে বুঝতে আমাদের আপেক্ষিকতা বিষয়ক ডকে ঢু মেরে আসতে পারেন।
উপরের সমীকরণকে আমরা কোন পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে নির্দিষ্ট সময়ে আলোর অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয়ে ব্যাবহার করতে পারবো। এখন আপনার বেগ যদি শূণ্য হয়, তবে আপনার হিসেবে আলোর অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে,
ds^2=c^2 dt'^2
কারন আপনার বেগ শূণ্য, মানে dx, dy, dz শূণ্য।এখানে আমি t ব্যাবহার না করে t' ব্যাবহার করেছি, কারন আমরা জানি যে, বেগের পরিবর্তন হলে সময়ের পরিবর্তন হবে।
এখন দুটি সূত্র একসাথে করে পাই,
c^2 t'^2= c^2 t2 - dx^2 - dy^2 - dz^2
বা, c^2 t'^2 = c^2 t^2 -dr^2 [কারন,dx^2+dy^2+dz^2=dr^2]
বা,c^2 t'^2/t^2= c^2-v^2 [যেহেতু,dr^2/dt^2=v^2]
বা, t'^2/t^2 = 1- v^2/c^2
বা, t^2= t'^2/(1-v^2/c^2)
বা, t = t'/root(1-v^2/c^2)
যা আইন্সটাইনের সময় প্রসারণের সূত্র। এখানে t হচ্ছে গতিশীল বস্তুর জন্য অতিক্রান্ত সময়, t' স্থির বস্তুর জন্য অতিক্রান্ত সময় এবং v হচ্ছে বেগ।